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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
f) f(x)=xln⁡2xf(x)=x \ln ^{2} x

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) El dominio de ff es todo (0,+∞)(0,+\infty) 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Nuestro candidato a asíntota vertical es el borde del dominio, x=0x = 0. Tomamos límite:

lim⁡x→0+xln⁡2(x) \lim_{x \to 0^+} x \ln^2(x)

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito", reescribimos como un cociente:

lim⁡x→0+ln⁡2(x)1x \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln^2(x)}{\frac{1}{x}}

Ahora tenemos una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→0+2ln⁡(x)⋅1x−1x2=lim⁡x→0+−2xln⁡(x) \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} -2 x \ln(x)

Reescribo de nuevo como un cociente:

lim⁡x→0+−2ln⁡(x)1x \lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \ln(x)}{\frac{1}{x}}

Aplicamos L'Hopital de nuevo:

lim⁡x→0+−2 1x −1x2=2x=0 \lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \frac{1}{x} }{-\frac{1}{x^2}} = 2x = 0

Por lo tanto, x=0x=0 no es asíntota vertical.
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando xx tiende a +∞+ \infty
lim⁡x→+∞xln⁡2(x)=+∞ \lim_{x \to +\infty} x \ln^2(x) = +\infty  

Con lo cual ff tampoco tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=ln⁡2(x)+x⋅2⋅ln⁡(x)⋅1x= ln⁡2(x)+ 2⋅ln⁡(x)f'(x) = \ln^2(x) + x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x)  4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

ln⁡2(x)+ 2⋅ln⁡(x)=0\ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x) = 0

Saco factor común ln⁡(x)\ln(x)

ln⁡(x)⋅(ln⁡(x)+2)=0\ln(x) \cdot (\ln(x) + 2) = 0

Esta multiplicación puede ser cero si:

✅ ln⁡(x)=0→x=1\ln(x) = 0 \rightarrow x = 1

✅ ln⁡(x)+2=0\ln(x) + 2 = 0

Despejamos:

ln⁡(x)=−2\ln(x) = -2

x=e−2=1e2x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}

Por lo tanto, los puntos críticos de ff son x=1x=1 y x= e−2x = e^{-2}
  5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:
- (0,e−2) (0, e^{-2}) - (e−2,1) (e^{-2}, 1) - (1,+∞) (1, +\infty)
  6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos:  
En  (0,e−2) ⇒f′(x)>0→ (0, e^{-2}) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente
En  (e−2,1) ⇒f′(x)<0→ (e^{-2}, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

En  (1,+∞) ⇒f′(x)>0→ (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente
  Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-19%2020:18:20_9679316.png
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Benjamin
21 de mayo 12:25
buenas una consulta, cuando estamos derivando f, veo que se simplifican la x que multiplica al 2 y el 1/x, eso se puede hacer? tipo, aunque la x este como dos terminos atras del otro termino que tiene x y que se puede simplificar, se puede hacer? como seria la expliacion
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 19:39
@Benjamin Claro sisi!

Vos tenés esta expresión:

x⋅2⋅ln⁡(x)⋅1xx \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x}

Fijate que todos esos términos se están multiplicando entre si, así que hasta incluso podrías reescribirla así:

x⋅2⋅ln⁡(x)⋅1x= x⋅2⋅ln⁡(x)xx \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{x \cdot 2 \cdot \ln(x)}{x}

y esas xx se pueden simplificar sin problemas!

Además acordate que en la multiplicación vos podés cambiar los términos de lugar y el resultado es el mismo, es decir, 2×32 \times 3 es igual que tener 3×23 \times 2, así que si la distancia te generaba ruido jaja siempre podés hacer esto:

x⋅2⋅ln⁡(x)⋅1x=x⋅ 1x⋅ 2⋅ln⁡(x)x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = x \cdot \frac{1}{x} \cdot 2 \cdot \ln(x)

Se ve mejor ahí?
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:13
ahh sisi, ya entendi, graciass
0 Responder