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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
f) $f(x)=x \ln ^{2} x$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de $f(x)$ El dominio de $f$ es todo $(0,+\infty)$ 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Nuestro candidato a asíntota vertical es el borde del dominio, $x = 0$. Tomamos límite:

$ \lim_{x \to 0^+} x \ln^2(x) $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito", reescribimos como un cociente:

$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln^2(x)}{\frac{1}{x}} $

Ahora tenemos una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:

$ \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} -2 x \ln(x) $

Reescribo de nuevo como un cociente:

$ \lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \ln(x)}{\frac{1}{x}} $

Aplicamos L'Hopital de nuevo:

$ \lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \frac{1}{x} }{-\frac{1}{x^2}} = 2x = 0 $

Por lo tanto, $x=0$ no es asíntota vertical.
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+ \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x \ln^2(x) = +\infty $ 

Con lo cual $f$ tampoco tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos $f'(x)$:

$f'(x) = \ln^2(x) + x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x)$  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$\ln^2(x) + 2 \cdot \ln(x) = 0$

Saco factor común $\ln(x)$

$\ln(x) \cdot (\ln(x) + 2) = 0$

Esta multiplicación puede ser cero si:

✅ $\ln(x) = 0 \rightarrow x = 1$

✅ $\ln(x) + 2 = 0$

Despejamos:

$\ln(x) = -2$

$x = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

Por lo tanto, los puntos críticos de $f$ son $x=1$ y $x = e^{-2}$
  5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
- \( (0, e^{-2}) \) - \( (e^{-2}, 1) \) - \( (1, +\infty) \)
  6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:  
En \( (0, e^{-2}) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
En \( (e^{-2}, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente

En \( (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
  Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-19%2020:18:20_9679316.png
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Avatar Benjamin 21 de mayo 12:25
buenas una consulta, cuando estamos derivando f, veo que se simplifican la x que multiplica al 2 y el 1/x, eso se puede hacer? tipo, aunque la x este como dos terminos atras del otro termino que tiene x y que se puede simplificar, se puede hacer? como seria la expliacion
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 19:39
@Benjamin Claro sisi!

Vos tenés esta expresión:

$x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x}$

Fijate que todos esos términos se están multiplicando entre si, así que hasta incluso podrías reescribirla así:

$x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{x \cdot 2 \cdot \ln(x)}{x}$

y esas $x$ se pueden simplificar sin problemas!

Además acordate que en la multiplicación vos podés cambiar los términos de lugar y el resultado es el mismo, es decir, $2 \times 3$ es igual que tener $3 \times 2$, así que si la distancia te generaba ruido jaja siempre podés hacer esto:

$x \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = x \cdot \frac{1}{x} \cdot 2 \cdot \ln(x)$

Se ve mejor ahí?
Avatar Benjamin 22 de mayo 08:13
ahh sisi, ya entendi, graciass
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